[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Funkcja charakterystycznaWeźmy zbiór X i jego podzbiór A.Funkcję określoną na zbiorze X, która przyjmuje wartość 1 dla elementów x A i wartość 0 dla xA, nazywamy funkcja charakterystyczna zbioru A i oznaczamy A.1 dla x AA =0 dla xAEx.46.Dla n  Z (zbiór liczb całkowitych) niech funkcja f jest funkcja charakterystyczna pewnego podzbioru zbioru Z.Jaki to podzbiór?Liczby parzyste dodatnie, gdyż f(n)= 1 dla n - parzystych i 0 dla nieparzystychMOCE ZBIORÓW.ZBIORY NIESKOŃCZONEBadania nad mocami zbiorów są jednym z podstawowych działów teorii mnogości.Terminem pierwotnym jaki zostaje tu użyty jest termin równoliczność zbiorów, który to termin po raz pierwszy został sprecyzowany przez G.Cantora twórcę matematycznej koncepcji zbiorów.Def.1.Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja różnowartościowaf: X→ Y przekształcająca zbiór X na Y.Funkcja f ustala równoliczność zbiorów X i Y.Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne, to piszemy X~Y.Ex.47.Jeżeli X={1, 2, 3, 4} a zbiór Y={2, 4, 6, 8}, to zbiory te są równoliczne, gdyż istnieje funkcja różnowartościowa f określona następująco f(x)=2x, która przekształca zbiór X na Y.Własności równolicznościX ~ XX~ Y→ Y~ XX~ Y  Y~ Z→ X~ ZZachodzi 1.gdyż istnieje Ix(x)=x, która przekształca X na XZachodzi 2.gdyż jeśli istnieje f przekształcająca X na Y , to istnieje f -1: Y→ X, przekształcająca Y na XZachodzi 3., gdyż jeśli istnieje f: X→ Y przekształcająca X na Y oraz jeśli istnieje g: Y→ Z, to istnieje f  g: X→ Z, które przekształca X na ZOkreślenie mocy zbioruKażdemu zbiorowi X przyporządkowana jest pewna własność zwana mocą zbioru lub liczba kardynalną, która nie zmienia się jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie jednoznacznie przez inne elementy, a także wtedy gdy zmieni się uporządkowanie elementów zbioru X.Liczbę kardynalną zbioru X oznaczamy przez.Zachodzą następujące zależności(=)  X~ YJeżeli zbiór X jest zbiorem n -elementowym, to = nEx 48.Niech X={1, 4, 6, 9}; = 4.Jeśli X jest zbiorem pustym, to jego mocą jest liczba kardynalna n = 0Zbiory skończone, nieskończone i przeliczalneDef.1.X jest zbiorem skończonym wtw, gdy E nN = nDef 2.X jest zbiorem nieskończonym wtw, gdy E nN = nDef.3 Jeżeli N jest zbiorem liczb naturalnym, to = 0 (alef zero)Def.4.Zbiorami przeliczalnymi nazywamy zbiory skończone lub nieskończone równoliczne ze zbiorem N.Ex.49.Niech X będzie zbiorem liczb naturalnych parzystych, a Y zbiorem liczb naturalnych nieparzystych.Jakiej mocy są zbiory X i Y.Istnieje f: N→X, określone wzorem f(n)=2n, które przekształca N na X.Zatem jeżeli N~X, to =.Skoro = 0 , =0Istnieje g: N→Y, określone wzorem f(n)=2n-1, które przekształca N na Y.Zatem jeżeli N~Y, to =.Skoro =0 , =0Ex.50.Wykazać, że jest zbiory X i Y są mocy 0, to X Y też jest mocy0.Niech f: N→X i g: N→Y przekształca zbiór N odpowiednio na X i Y.Mamy zatem paryf(1), g (1)>, f(1), g (2)> , f(1), g (3)>,.f(1), g (n)>,.f(2), g (1)>, f(2), g (2)> , f(2), g (3)>,.f(2), g (n)>,.f(3), g (1)>, f(3), g (2)> , f(3), g (3)>,.f(3), g (n)>,.f(m), g (1)>, f(m), g (2)> , f(m), g (3)>,.f(m), g (n)>,.Ustawiając pary w odpowiednim porządku można ustalić funkcję h: N→ X YKtóra przekształca zbiór N na iloczyn kartezjański zbiorów X i Y.h(1)= f(1), g (1)> pierwsza przekątnah(2)=f(1), g (2)>h(3)= f(2), g (1)> druga przekątnah(4)= f(3), g (1)>h(5)= f(2), g (2)> trzecia przekątnah(6)= f(1), g (3)>.Zatem Iloczyn kartezjański X i Y jest mocy 0, co zapisujemy =0Def.1 Niech  oznacza zbiór liczb rzeczywistych.Zbiory o mocy c nazywa się zbiorami o mocy continuum.Udowodnimy, że zbiór o mocy continuum jest nieprzeliczalny.W tym celu wystarczy udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych  posiada moc różną od 0 tzn.0 c.Dowód taki pochodzi od Cantora i nazywa się dowodem przekątniowym.Jest on dowodem nie wprost.Dowód.1.Załóżmy, że =0Niech  składa się z wszystkich liczb rzeczywistych uporządkowanych w różnowartościowy nieskończony ciąg: r1, r2, r3,.Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje jej rozwinięcie na ułamek dziesiętny nieskończony, wyrazy ciągu można przedstawić następująco:r1= c1, c11 c12.r2= c2, c21 c22.rn= cn, cn1 cn2.gdzie cn jest częścią całkowitą, a cn1 cn2,.kolejnymi cyframi rozwinięcia dziesiętnego liczby rn.Budujemy tabelę, która przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę rzeczywistą.1234.n.c1, c11 c12.c2,c21c22.c3,c31c32 c33.c4,c41c42 c43 c44.cn, cn1 cn2.cnn.lOkreślmy liczbę r następująco: r = 0,d1 d2 [ Pobierz całość w formacie PDF ]